Φωτοηλεκτρικό φαινόμενο
ΑΣΚΗΣΗ: Μελέτη Φωτοηλεκτρικού Φαινομένου και Ορμής Φωτονίου
Εκφώνηση
Μονοχρωματική ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία (Α), της οποίας τα φωτόνια έχουν ενέργεια $E_A$, προσπίπτει στην κάθοδο ενός φωτοκυττάρου, της οποίας το μέταλλο έχει έργο εξαγωγής $W$. Η τάση αποκοπής που απαιτείται για να μηδενιστεί το φωτοηλεκτρικό ρεύμα μετράται ίση με $V_A = 1,5 \text{ V}$.
Στη συνέχεια, φωτίζουμε την κάθοδο με μια νέα μονοχρωματική ακτινοβολία (Β), της οποίας τα φωτόνια έχουν διπλάσια ενέργεια από αυτά της πρώτης:
\[E_B = 2E_A\]Για τη νέα αυτή ακτινοβολία, η τάση αποκοπής μετράται ίση με $V_B = 5 \text{ V}$.
Ζητούμενα
-
Να υπολογίσετε το έργο εξαγωγής $W$ του μετάλλου της καθόδου σε ηλεκτρονιοβόλτ ($eV$).
-
Να βρείτε την ενέργεια $E_A$ των φωτονίων της ακτινοβολίας (Α) σε $eV$.
-
Να προσδιορίσετε τη συχνότητα κατωφλίου $f_0$ του μετάλλου σε σχέση με τη συχνότητα $f_A$ της ακτινοβολίας (Α).
-
Αν γνωρίζουμε ότι η ενέργεια των φωτονίων της ακτινοβολίας (Α) είναι $E_A = 3,5 \text{ eV}$ και δίνονται:
- Το φορτίο του ηλεκτρονίου: $e = 1,6 \times 10^{-19} \text{ C}$
- Η ταχύτητα του φωτός στο κενό: $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ να υπολογίσετε το μέτρο της ορμής $p_B$ ενός φωτονίου της ακτινοβολίας (Β).
Αναλυτική Λύση
1. Υπολογισμός του Έργου Εξαγωγής ($W$) και της Ενέργειας ($E_A$)
Η μέγιστη κινητική ενέργεια των εκπεμπόμενων ηλεκτρονίων συνδέεται με την τάση αποκοπής μέσω της σχέσης: $K_{max} = e \cdot V_0$
Εφαρμόζουμε τη φωτοηλεκτρική εξίσωση του Einstein ($K_{max} = E_{\phi \omega \tau} - W$) για τις δύο περιπτώσεις, εκφράζοντας τις ενέργειες σε ηλεκτρονιοβόλτ ($eV$):
-
Για την ακτινοβολία (Α): $e \cdot V_A = E_A - W \Rightarrow 1,5 \text{ eV} = E_A - W$
-
Για την ακτινοβολία (Β): Επειδή $E_B = 2E_A$: $e \cdot V_B = E_B - W \Rightarrow 5 \text{ eV} = 2E_A - W$
Αφαιρούμε κατά μέλη την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη: $(2 E_A - W) - (E_A - W) = 5 \text{ eV} - 1,5 \text{ eV} \Rightarrow E_A = 3,5 \text{ eV}$
Αντικαθιστούμε την τιμή της $E_A$ στην πρώτη εξίσωση: $1,5 \text{ eV} = 3,5 \text{ eV} - W \Rightarrow W = 2 \text{ eV}$
2. Προσδιορισμός της Συχνότητας Κατωφλίου ($f_0$)
Το έργο εξαγωγής και η ενέργεια της ακτινοβολίας (Α) συνδέονται με τις αντίστοιχες συχνότητες μέσω των σχέσεων:
\(W = h \cdot f_0\) \(E_A = h \cdot f_A\)
Διαιρώντας κατά μέλη τις δύο αυτές σχέσεις έχουμε: \(\frac{W}{E_A} = \frac{h \cdot f_0}{h \cdot f_A} \Rightarrow \frac{2 \text{ eV}}{3,5 \text{ eV}} = \frac{f_0}{f_A} \Rightarrow \frac{4}{7} = \frac{f_0}{f_A} \Rightarrow f_0 = \frac{4}{7} f_A\)
3. Υπολογισμός της Ορμής του Φωτονίου ($p_B$)
Η ενέργεια των φωτονίων της ακτινοβολίας (Β) είναι:
\[E_B = 2 E_A = 2 \cdot 3,5 \text{ eV} = 7 \text{ eV}\]Μετατρέπουμε την ενέργεια αυτή στο διεθνές σύστημα μονάδων (SI) σε Joule:
\[E_B = 7 \cdot 1,6 \times 10^{-19} \text{ J} = 1,12 \times 10^{-18} \text{ J}\]Από τη θεωρία της ειδικής σχετικότητας, η ορμή ενός φωτονίου συνδέεται με την ενέργειά του μέσω της σχέσης:
\[E = p \cdot c \Rightarrow p = \frac{E}{c}\]Συνεπώς, για την ορμή του φωτονίου Β έχουμε:
\[p_B = \frac{E_B}{c} = \frac{1,12 \times 10^{-18} \text{ J}}{3 \times 10^8 \text{ m/s}} \approx 3,73 \times 10^{-27} \text{ kg}\cdot\text{m/s}\]blog comments powered by Disqus