Ατομικό Πρότυπο Bohr & Φωτοηλεκτρικό Φαινόμενο
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: Ατομικό Πρότυπο Bohr & Φωτοηλεκτρικό Φαινόμενο
Εκφώνηση
Ένα άτομο Υδρογόνου βρίσκεται στην 2η διεγερμένη κατάσταση (κύριος κβαντικός αριθμός \(n = 3\)). Κατά την αποδιέγερσή του προς τη θεμελιώδη κατάσταση (\(n = 1\)), το ηλεκτρόνιο μπορεί να πραγματοποιήσει μεταπτώσεις εκπέμποντας φωτόνια διαφορετικών συχνοτήτων.
Θεωρούμε δύο συγκεκριμένες κατηγορίες εκπεμπόμενων φωτονίων:
- Φωτόνιο Α: Παράγεται κατά τη μετάβαση του ηλεκτρονίου από τη στάθμη \(n = 3\) στη στάθμη \(n = 2\).
- Φωτόνιο Β: Παράγεται κατά τη μετάβαση του ηλεκτρονίου από τη στάθμη \(n = 2\) στη στάθμη \(n = 1\).
Τα εκπεμπόμενα φωτόνια κατευθύνονται προς την κάθοδο ενός φωτοκυττάρου, η οποία είναι κατασκευασμένη από μέταλλο με έργο εξαγωγής: \(W = 2,2 \text{ eV}\)
Δίνονται:
- Η ενέργεια της θεμελιώδους κατάστασης του Υδρογόνου: \(E_1 = -13,6 \text{ eV}\)
- Η ενέργεια της στάθμης \(n\) δίνεται από τη σχέση: \(E_n = \frac{E_1}{n^2}\)
- Το φορτίο του ηλεκτρονίου: \(e = 1,6 \times 10^{-19} \text{ C}\)
- Η ταχύτητα του φωτός στο κενό: \(c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}\)
Ζητούμενα
- Να υπολογίσετε τις ενέργειες \(E_A\) και \(E_B\) των φωτονίων Α και Β αντίστοιχα, σε ηλεκτρονιοβόλτ (\(\text{eV}\)).
- Να εξετάσετε ποιο ή ποια από τα δύο φωτόνια μπορούν να προκαλέσουν φωτοηλεκτρικό φαινόμενο κατά την πρόσπτωσή τους στην κάθοδο του φωτοκυττάρου. Να αιτιολογήσετε πλήρως την απάντησή σας.
- Για το φωτόνιο που μπορεί να προκαλέσει φωτοηλεκτρική εκπομπή, να υπολογίσετε την τάση αποκοπής \(V_0\) που απαιτείται για τον μηδενισμό του φωτοηλεκτρικού ρεύματος.
- Να υπολογίσετε το μέτρο της ορμής \(p_B\) του φωτονίου Β στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων (\(\text{S.I.}\)).
- Αν μια μονοχρωματική δέσμη αποτελούμενη αποκλειστικά από φωτόνια τύπου Β έχει συνολική ισχύ: \(P = 1,632 \text{ W}\) να προσδιορίσετε τον αριθμό των φωτονίων \(N\) που προσπίπτουν στην κάθοδο ανά δευτερόλεπτο (\(\Delta t = 1 \text{ s}\)).
Αναλυτική Λύση
1. Υπολογισμός των ενεργειών των φωτονίων (\(E_A, E_B\))
Αρχικά υπολογίζουμε τις ενεργειακές στάθμες του ατόμου του Υδρογόνου για \(n=2\) και \(n=3\): \(E_2 = \frac{E_1}{2^2} = \frac{-13,6}{4} = -3,4 \text{ eV}\) \(E_3 = \frac{E_1}{3^2} = \frac{-13,6}{9} \approx -1,51 \text{ eV}\)
Η ενέργεια του εκπεμπόμενου φωτονίου κατά τη μετάβαση από μια αρχική στάθμη \(E_{init}\) σε μια τελική \(E_{final}\) δίνεται από τη σχέση: \(E_{f\omega\tau} = E_{init} - E_{final}\)
-
Για το Φωτόνιο Α (\(3 \rightarrow 2\)): \(E_A = E_3 - E_2 = -1,51 - (-3,4) = 1,89 \text{ eV}\)
-
Για το Φωτόνιο Β (\(2 \rightarrow 1\)): \(E_B = E_2 - E_1 = -3,4 - (-13,6) = 10,2 \text{ eV}\)
2. Έλεγχος δυνατότητας φωτοηλεκτρικής εκπομπής
Για να πραγματοποιηθεί το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο, πρέπει η ενέργεια του προσπίπτοντος φωτονίου να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το έργο εξαγωγής του μετάλλου της καθόδου (\(E_{f\omega\tau} \ge W\)):
- Για το Φωτόνιο Α: Παρατηρούμε ότι: \(E_A = 1,89 \text{ eV} < W = 2,2 \text{ eV}\) Συνεπώς, το φωτόνιο Α δεν μπορεί να προκαλέσει φωτοηλεκτρικό φαινόμενο.
- Για το Φωτόνιο Β: Παρατηρούμε ότι: \(E_B = 10,2 \text{ eV} > W = 2,2 \text{ eV}\) Συνεπώς, το φωτόνιο Β μπορεί να προκαλέσει φωτοηλεκτρικό φαινόμενο και να αποσπάσει ηλεκτρόνια από το μέταλλο.
3. Υπολογισμός της τάσης αποκοπής (\(V_0\))
Εφαρμόζουμε τη φωτοηλεκτρική εξίσωση του Einstein για το φωτόνιο Β: \(K_{max} = E_B - W\)
Αντικαθιστώντας τις τιμές: \(K_{max} = 10,2 \text{ eV} - 2,2 \text{ eV} = 8 \text{ eV}\)
Η μέγιστη κινητική ενέργεια συνδέεται με την τάση αποκοπής μέσω της σχέσης: \(K_{max} = e \cdot V_0\)
Εφόσον η ενέργεια εκφράζεται σε \(\text{eV}\), η τάση αποκοπής προκύπτει άμεσα αριθμητικά: \(e \cdot V_0 = 8 \text{ eV} \Rightarrow V_0 = 8 \text{ V}\)
4. Υπολογισμός της ορμής του φωτονίου Β (\(p_B\))
Μετατρέπουμε πρώτα την ενέργεια του φωτονίου Β σε Joule (\(\text{J}\)): \(E_B = 10,2 \text{ eV} = 10,2 \cdot 1,6 \times 10^{-19} \text{ J} = 1,632 \times 10^{-18} \text{ J}\)
Η ορμή του φωτονίου συνδέεται με την ενέργειά του μέσω της σχετικιστικής σχέσης: \(p_B = \frac{E_B}{c}\)
Αντικαθιστούμε τις τιμές: \(p_B = \frac{1,632 \times 10^{-18} \text{ J}}{3 \times 10^8 \text{ m/s}} = 5,44 \times 10^{-27} \text{ kg}\cdot\text{m/s}\)
5. Υπολογισμός του ρυθμού πρόσπτωσης φωτονίων (\(N / \Delta t\))
Η συνολική ισχύς \(P\) της δέσμης είναι η συνολική ενέργεια που μεταφέρεται ανά δευτερόλεπτο και ισούται με την ενέργεια των \(N\) φωτονίων: \(P = \frac{E_{total}}{\Delta t} = \frac{N \cdot E_B}{\Delta t}\)
Λύνοντας ως προς τον αριθμό των φωτονίων \(N\) για χρόνο \(\Delta t = 1 \text{ s}\): \(N = \frac{P \cdot \Delta t}{E_B}\)
Αντικαθιστώντας τις τιμές στο \(\text{S.I.}\): \(N = \frac{1,632 \text{ W} \cdot 1 \text{ s}}{1,632 \times 10^{-18} \text{ J}} = 10^{18} \text{ φωτόνια}\)
blog comments powered by Disqus