Θέμα Δ

σχήμα

Η δεξαμενή του σχήματος έχει σχήμα κυλίνδρου με πυθμένα κύκλο ακτίνας R1 και κατακόρυφα τοιχώματα. Είναι τοποθετημένη στο έδαφος και περιέχει ιδανικό ρευστό μέχρι ύψος Η. Στην πλευρική επιφάνεια της δεξαμενής σε επαφή με τον πυθμένα υπάρχει μικρή στρογγυλή οπή ακτίνας R2 από την οποία εκρέει το ρευστό. Να υπολογιστούν οι χρονικές συναρτήσεις του ύψους h(t) του ρευστού στη δεξαμενή και της παροχής Π(t) της οπής για την χρονική διάρκεια από την στιγμή που ανοίγει η οπή έως ότου αδειάσει η δεξαμενή.

Εξίσωση Bernulli από ένα σημείο Α της επιφάνειας του ρευστού έως ένα σημείο Β στην οπή.

PA+12ρυΑ2+ρgh=PB+12ρυB2

Για τις ακτίνες ισχύει R1>>R2 οπότε βγάζουμε το συμπέρασμα ότι υΑ<<υΒ και αγνοούμε έτσι την ταχύτητα υΑ. Για τις πιέσεις ισχύει PA=PB=Pατμ οπότε η εξίσωση Bernulli γίνεται:

ρgh=12ρυB2υΒ=2gh

Η παροχή ορίζεται ως ο ρυθμός μεταβολής του όγκου του ρευστού που εκκρέει.

Π=dVdtΠ=d(VολVυγρού)dtΠ=πR12dhdt

και δίνεται από την σχέση

Π=ΑυBΠ=πR22υBΠ=πR222gh

Από τις δυο προηγούμενες σχέσεις

πR222gh=ΔVΔtπR222gh=πR12dhdt

απλοποιούμε το π και υψώνουμε στο τετράγωνο, οπότε

hh=(R2R1)22gh2h=(R2R1)2g2

και μετά τις πράξεις

(h(t))=(R2R1)2g2h(t)=(R2R1)2g2t+ch(t)=((R2R1)2g2t+c)2

όπου η σταθερά c υπολογίζεται από τις αρχικές συνθήκες για τις οποίες θα έχουμε την χρονική στιγμή t=0 το ύψος είναι h(t)=H οπότε c=H και η τελική συνάρτηση είναι:

h(t)=(H(R2R1)2g2t)2

Ενώ η τελική συνάρτηση για την παροχή μετά τις πράξεις είναι:

Π(t)=πR22H2gπR24gR12t

Θέμα Γ

Δύο κατακόρυφοι μεταλλικοί αγωγοί Αy1 και Γy2, αμελητέας ωμικής αντίστασης, συνδέονται μεταξύ τους στα σημεία Α και Γ μέσω ωμικής αντίστασης R2=3Ω. Παράλληλα με την ωμική αντίσταση συνδέεται πηγή ΗΕΔ Ε=10Volt και εσωτερικής αντίστασης r=1Ω. Οριζόντιος αγωγός ΚΛ έχει την δυνατότητα να μετακινείται πάνω στους μεταλλικούς αγωγούς χωρίς τριβές. Ο οριζόντιος αγωγός έχει μάζα m1=4kg, μήκος l=50cm, ωμική αντίσταση R1=1.5Ω και είναι δεμένος στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Nm το πάνω άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο, όπως φαίνεται στο σχήμα.

σχήμα

Όλο το σύστημα των κατακόρυφων αγωγών, της πηγής, των αντιστατών και του ελατηρίου βρίσκεται μέσα σε οριζόντιο ομογενές μαγνητικό πεδίο. Όταν ο διακόπτης Δ είναι κλειστός ο αγωγός ΚΛ ισορροπεί ακίνητος, έτσι ώστε η επιμήκυνση του ελατηρίου να είναι Δl1=0.5m.

1) Να σχεδιαστεί η φορά και να υπολογιστεί το μέτρο της έντασης του ομογενούς μαγνητικού πεδίου.

Την χρονική στιγμή t=0 ανοίγουμε τον διακόπτη Δ οπότε ο αγωγός ΚΛ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Θεωρήστε θετική φορά την αρχική φορά κίνησης του αγωγού.

2) Να γραφεί η σχέση που δίνει την απομάκρυνση του αγωγού ΚΛ από την θέση ισορροπίας του, σαν συνάρτηση του χρόνου και να γίνει η γραφική της παράσταση για την χρονική διάρκεια μιας περιόδου.

3) Να υπολογιστεί η ηλεκτρεγερτική δύναμη από επαγωγή που αναπτύσσεται στα άκρα του αγωγού ΚΛ καθώς αυτός ταλαντώνεται στο κατακόρυφο επίπεδο κάθετα στις δυναμικές γραμμές του οριζόντιου μαγνητικού πεδίου σαν συνάρτηση του χρόνου.

Την χρονική στιγμή που μηδενίζεται για πρώτη φορά ο ρυθμός μεταβολής της επαγωγικής τάσης που αναπτύσσεται στα άκρα του αγωγού ΚΛ, βλήμα μάζας m2=1kg κινούμενο με ταχύτητα υ2=0.5ms στην κατακόρυφη διεύθυνση του ελατηρίου και με φορά προς τα κάτω, σφηνώνεται ακαριαία στο κέντρο μάζας του αγωγού ΚΛ. Το συσσωμάτωμα που προκύπτει από την σύγκρουση εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

4) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση και το διάστημα που θα διανύσει αυτό μέχρι να σταματήσει στιγμιαία για δεύτερη φορά.

5) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συσσωματώματος όταν για πρώτη φορά αυτό διέρχεται από την αρχική θέση ισορροπίας του αγωγού ΚΛ (όπου η επιμήκυνση του ελατηρίου είναι Δl1=0.5m).

Θέμα Β

σχήμα

Οι τρεις βρύσες Α, Β και Γ, σταθερής παροχής χρησιμοποιούνται για να γεμίσουν το άδειο δοχείο με νερό. Όταν οι βρύσες Α και Β είναι ανοικτές, το δοχείο γεμίζει σε 2min. Όταν οι βρύσες Β και Γ είναι ανοικτές, το δοχείο γεμίζει σε 3min. Όταν οι βρύσες Α και Γ είναι ανοικτές, το δοχείο γεμίζει σε 4min. Όταν είναι ανοικτές και οι τρεις βρύσες, το δοχείο γεμίζει σε χρόνο:

  1. 2413min
  2. 1324min
  3. 12min
  4. 9min

Επιλέξτε και δικαιολογήστε!

Θέμα Α

Δύο ίδια δοχεία έχουν στα πλευρικά τοιχώματά τους οπές ίδιου εμβαδού διατομής σε σημεία πολύ κοντά στον πυθμένα. Θεωρούμε ότι η διατομή κάθε οπής είναι πολύ μικρότερη από την διατομή της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού και ότι η πίεση γύρω από τα δοχεία είναι ίση με την ατμοσφαιρική. Τα δοχεία γεμίζουν με υγρά διαφορετικής πυκνότητας για τα οποία ισχύει ρ1>ρ2. Η ολική πίεση κοντά στον πυθμένα είναι το άθροισμα της υδροστατικής και της ατμοσφαιρικής. Εάν ανοίξουμε τις οπές ταυτόχρονα:

1) το δοχείο 1 θα αδειάσει σε μικρότερο χρόνο γιατί η εσωτερική πίεση κοντά στην οπή είναι μεγαλύτερη

2) τα δοχεία θα αδειάσουν στον ίδιο χρόνο

3) το δοχείο 2 θα αδειάσει σε μικρότερο χρόνο διότι η ολική πίεση κοντά στον πυθμένα όταν είναι ανοιχτή η οπή δεν είναι ίση με το άθροισμα της υδροστατικής και της ατμοσφαιρικής πίεσης

4) δεν μπορούμε να γνωρίζουμε ποιο δοχείο θα αδειάσει πρώτα



Published

15 May 2020

Category

Άσκηση

Tags