Δύο δίσκοι που εφάπτονται
Το παρακάτω σχήμα (σχολικό βιβλίο σελίδα 151) δείχνει δυο λεπτούς δίσκους που μπορούν να περιστρέφονται ελεύθερα γύρω από άξονες που διέρχονται από τα κέντρα τους \(Κ\) και \(Λ\). Οι δίσκοι εφάπτονται μεταξύ τους στο σημείο \(Ρ\) ώστε όταν περιστρέφεται ο ένας να παρασύρει τον άλλο χωρίς ολίσθηση. Ο μεγάλος δίσκος έχει ροπή αδρανείας \(Ι_K = 75 kg \cdot m^2\) ως προς το κέντρο μάζας του. Την χρονική στιγμή \(t = 0\) εφαρμόζεται μια ροπή \(τ = 2 Ν \cdot m\) στον μικρό αβαρή δίσκο ενώ οι δίσκοι βρίσκονται σε ηρεμία. Να βρεθεί κατά μέτρο η γωνιακή ταχύτητα του μεγάλου δίσκου την χρονική στιγμή \(t = 3 s\). Δίνονται οι ακτίνες \(R_Κ = 60 cm\) και \(R_Λ = 40cm\).
Απάντηση:
Λόγω της επαφής στο Ρ, εμφανίζεται ένα ζεύγος δυνάμεων δράσης αντίδρασης στους δυο δίσκους. Έτσι στον δίσκο με κέντρο \(Λ\) εμφανίζεται η τριβή Τ ώστε να αντιτίθεται στην κίνηση του δίσκου. Εάν \(R_Λ\) είναι η ακτίνα του δίσκου, τότε η Τ ως εφαπτόμενη δύναμη είναι κάθετη σε αυτή και δημιουργεί μια επιπλέον ροπή ίση κατά μέτρο με
\[τ_Λ = Τ \cdot R_Λ\]Η ροπή αδράνειας \(Ι_Λ\) είναι μηδέν αφού ο δίσκος είναι αβαρής, οπότε ο 2ος νόμος του Νεύτων μας δίνει
\[Στ = Ι \cdot α_{γων} \Rightarrow τ - τ_Λ = 0 \Rightarrow τ = Τ \cdot R_Λ \Rightarrow T = \frac{τ}{R_Λ}\]και κάνοντας τις πράξεις έχουμε \(T = 5N\). Λόγω δράσης αντίδρασης η τριβή \(Τ'\) που εφαρμόζεται στον δίσκο \(Κ\) έχει ίδιο μέτρο και αντίθετη φορά με την δύναμη της τριβής που εφαρμόζεται στον δίσκο \(Λ\). Η ροπή που περιστρέφει αυτόν τον δίσκο είναι
\[τ_Κ = Τ \cdot R_Κ \Rightarrow τ_Κ = 3 Ν \cdot m\]Η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου βρίσκεται από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα
\[α_{γων} = \frac{τ}{Ι_Κ} \Rightarrow α_{γων} = 0.04 \frac{rad}{s^2}\]Τέλος η γωνιακή ταχύτητα μπορεί να βρεθεί από την σχέση
\[ω = ω_ο + α_{γων} \cdot t \Rightarrow ω = 0.12 \frac{rad}{s}\]blog comments powered by Disqus