Αριθμός ταλαντώσεων
Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που εκτελούνται πάνω στην ίδια διεύθυνση, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και έχουν ίδιο πλάτος \(Α\), και παραπλήσιες συχνότητες \(f_1 \approx f_2\). Στο χρόνο που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους της συνισταμένης ταλάντωσης, το σώμα εκτελεί \(Ν_1\) πλήρεις ταλαντώσεις. Εάν υποδιπλασιάσουμε τις συχνότητες και των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων θεωρώντας ότι και οι νέες συχνότητες είναι παραπλήσιες δηλαδή \(f'_1 \approx f'_2\) να βρεθεί ο λόγος \(\frac{N_1}{N_2}\), όπου \(Ν_2\) ο αριθμός των ταλαντώσεων που εκτελεί το σώμα μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους της συνισταμένης ταλάντωσης, μετά τον διπλασιασμό των συχνοτήτων.
Απάντηση:
Όταν ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που εκτελούνται στην ίδια διεύθυνση, γύρω από το ίδιο σημείο ισορροπίας με ίδιο πλάτος και παραπλήσιες συχνότητες \(f_1\) και \(f_2\) προκύπτει μια ιδιόμορφη κίνηση που ονομάζεται διακρότημα. Ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους ονομάζεται περίοδος του διακροτήματος και υπολογίζεται από την σχέση:
\[T_δ = \frac{1}{|f_1 - f_2|}\]Η συχνότητα της ταλάντωσης της κίνησης του σώματος δίνεται από την σχέση:
\[f = \frac{f_1+f_2}{2}\]Άρα η περίοδος της κίνησης είναι
\[T = \frac{2}{f_1+f_2}\]Το πλήθος \(Ν_1\) των ταλαντώσεων που εκτελεί το σώμα στη διάρκεια μιας περιόδου του διακροτήματος είναι
\[Ν_1 = \frac{T_δ}{Τ} = \frac{ \frac{1}{|f_1 - f_2|}}{\frac{2}{f_1+f_2}} = \frac{f_1+f_2}{2\cdot|f_1-f_2|}\]Όταν υποδιπλασιάσουμε τις συχνότητες έχουμε \(f'_1 = \frac{f_1}{2}\) και \(f'_2 = \frac{f_2}{2}\) οπότε για την νέα ιδιόμορφη ταλάντωση θα ισχύουν
\[T'_δ = \frac{1}{|f'_1 - f'_2|} = \frac{1}{|\frac{f_1}{2} - \frac{f_2}{2}|} = \frac{2}{|f_1 - f_2|}\]ενώ για την περίοδο \(Τ\) της κίνησης έχουμε
\[T´ = \frac{2}{f´_1+f´_2} = \frac{2}{\frac{f_1}{2} + \frac{f_2}{2}} = \frac{4}{f_1+f_2}\]οπότε το πλήθος \(Ν_2\) των ταλαντώσεων που εκτελεί το σώμα στη διάρκεια μιας περιόδου του διακροτήματος είναι
\[Ν_2 = \frac{T´_δ}{Τ´} = \frac{ \frac{2}{|f_1 - f_2|}}{\frac{4}{f_1+f_2}} = \frac{f_1+f_2}{2\cdot|f_1-f_2|}\]και τελικά ο ζητούμενος λόγος προκύπτει:
\[\frac{N_1}{N_2}=1\]blog comments powered by Disqus