Διαγωνισμός Φυσικής Β. Ξανθόπουλος 2015

Κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς ${\rm K}=100\frac{{\rm N}}{m}$ έχει ακλόνητα στερεωμένο το άνω άκρο του. Στο κάτω άκρο του ελατηρίου είναι τοποθετημένο σώμα μάζας $m_1=4Kg$. Το σώμα μάζας $m_1$ είναι δεμένο μέσω αβαρούς και μη εκτατού νήματος στο άνω άκρο $\Gamma$ ομογενούς ράβδου ${\rm B}\Gamma$, μήκους $l=2m$ και μάζας $m_3=3Kg$ που έχει ροπή αδράνειας $I_{cm}=\frac{1}{12}\cdot m_3\cdot l^2$. Στο άκρο $\Gamma$ της ράβδου υπάρχει στερεωμένη μία σφαίρα μάζας $m_2=1Kg$, αμελητέων διαστάσεων (βλέπε σχήμα). Αρχικά όλο το σύστημα ισορροπεί και η ράβδος είναι κατακόρυφη, ενώ η δύναμη στην άρθρωση στο άκρο ${\rm B}$ της ράβδου είναι μηδέν.

Α. Να υπολογίσετε την αρχική παραμόρφωση του ελατηρίου από το φυσικό του μήκος στην κατάσταση ισορροπίας.

Β. Τη χρονική στιγμή $t_0=0$ δίνεται μία ελάχιστη ώθηση στη ράβδο (${\omega }_0\approx 0$) και το νήμα σπάει. Το σώμα μάζας $m_1$ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ενώ η ράβδος στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από την άρθρωση στο άκρο ${\rm B}$. Να γράψετε την εξίσωση της ταλάντωσης του σώματος μάζας $m_1$, θεωρώντας θετική τη φορά προς τα πάνω.

Γ. Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα $\omega$ του συστήματος ράβδου-σφαίρας στην κατώτερη, κατακόρυφη θέση του.

Δ. Στην κατώτερη θέση του συστήματος ράβδου-σφαίρας, η σφαίρα συγκρούεται ελαστικά με σώμα μάζας $m_4=4Kg$ το οποίο ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Να υπολογίσετε: τη γωνιακή ταχύτητα ${\omega }^{\prime }$ του συστήματος ράβδου-σφαίρας και την ταχύτητα ${\upsilon }_4^{\prime }$ του σώματος μάζας $m_4$ , μετά την κρούση. Δίνεται: $g=10\frac{m}{s^2}$

Απάντηση: