Η γιορτή της 28ης Οκτωβρίου Εσπερινό Γυμνάσιο με Λ.Τ. ΚΩ
Η λίστα των τραγουδιών είναι διαθέσιμη στο https://bit.ly/esperino_gymnasio
ή σκάναρε την εικόνα
Λύση
\[(2υ_{cm})^2 = υ_Α^2 + υ_Β^2 + 2 \cdot υ_Α \cdot υ_Β \cdot συνθ \Rightarrow 4υ_{cm}^2 = 16 + υ_Β^2 + 16 \cdot \frac{υ_Β}{\sqrt{13}}\] \[υ_{cm}^2 = \frac{16 + υ_Β^2 + 16 \cdot \frac{υ_Β}{\sqrt{13}}}{4} \quad <1>\] \[υ_{γρ}^2 + υ_Α^2 = υ_{cm}^2 \Rightarrow υ_{cm}^2 = υ_{γρ}^2 + 16 \quad <2>\] \[εφφ = \frac{υ_Β \cdot ημθ}{υ_Α + υ_Β \cdot συνθ} \Rightarrow εφφ = \frac{3υ_Β}{2υ_Β+4\sqrt{13}} \quad <3>\] \[εφφ = \frac{υ_{γρ}}{υ_Α} \Rightarrow εφφ = \frac{υ_{γρ}}{4} \Rightarrow υ_{γρ} = 4 εφφ \quad <4>\]αντικαθιστούμε την \(<3>\) στην \(<4>\)
\[υ_{γρ} = 4 \cdot \frac{3υ_Β}{2υ_Β+4\sqrt{13}} \Rightarrow υ_{γρ} = \frac{6υ_Β}{υ_Β+2\sqrt{13}} \quad <5>\]Τα πρώτα μέλη των εξισώσεων \(<1>\) και \(<2>\) είναι ίσα άρα και τα δεύτερα οπότε
\[\frac{16 + υ_Β^2 + 16 \cdot \frac{υ_Β}{\sqrt{13}}}{4} = υ_{γρ}^2 + 16 \quad <6>\]Αντικαθιστούμε την \(<5>\) στην \(<6>\) οπότε
\[\frac{16 + υ_Β^2 + 16 \cdot \frac{υ_Β}{\sqrt{13}}}{4} = (\frac{6υ_Β}{υ_Β+2\sqrt{13}})^2 + 16\] \[\frac{16 + υ_Β^2 + 16 \cdot \frac{υ_Β}{\sqrt{13}}}{4} = \frac{36υ_Β^2 + 16(υ_Β + 2 \cdot \sqrt{13})}{(υ_Β + 2 \cdot \sqrt{13})^2}\]Πολλαπλασιάζουμε χιαστί
\[(16 + υ_Β^2 + 16 \cdot \frac{υ_Β}{\sqrt{13}}) \cdot (υ_Β + 2 \cdot \sqrt{13})^2 = 4 \cdot (36υ_Β^2 + 16(υ_Β + 2 \cdot \sqrt{13}))\]αναπτύσουμε τα τετράγωνα και με αναγωγή ομοίων όρων έχουμε την τετάρτου βαθμού εξίσωση
\[υ_Β^4 +\frac{68\sqrt{13}}{13} \cdot υ_Β^3 - 76 \cdot υ_Β^2 -128\sqrt{13} \cdot υ_Β -2496 =0\]Οι λύσεις της οποίας είναι δύο πραγματικές \(υ_Β=2 \sqrt{13} \frac{m}{s}\) και \(υ_Β=-6 \sqrt{13} \frac{m}{s}\) που απορρίπτεται ως αρνητική, και δύο μιγαδικές που δεν μας ενδιαφέρουν.
Οπότε για \(υ_Β=2 \sqrt{13} \frac{m}{s}\) προκύπτει από την \(<5>\)
\[υ_{γρ} = 3 \frac{m}{s}\]και αντικαθιστώντας στην \(<2>\) έχουμε:
\[υ_{cm}^2 = 9 + 16 \Rightarrow υ_{cm}^2 = 25 \Rightarrow υ_{cm}=5 \frac{m}{s}\]blog comments powered by Disqus