Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που εκτελούνται πάνω στην ίδια διεύθυνση, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και έχουν ίδιο πλάτος \(Α\), και παραπλήσιες συχνότητες \(f_1 \approx f_2\). Στο χρόνο που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους της συνισταμένης ταλάντωσης, το σώμα εκτελεί \(Ν_1\) πλήρεις ταλαντώσεις. Εάν υποδιπλασιάσουμε τις συχνότητες και των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων θεωρώντας ότι και οι νέες συχνότητες είναι παραπλήσιες δηλαδή \(f'_1 \approx f'_2\) να βρεθεί ο λόγος \(\frac{N_1}{N_2}\), όπου \(Ν_2\) ο αριθμός των ταλαντώσεων που εκτελεί το σώμα μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους της συνισταμένης ταλάντωσης, μετά τον διπλασιασμό των συχνοτήτων.

Απάντηση:

Όταν ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που εκτελούνται στην ίδια διεύθυνση, γύρω από το ίδιο σημείο ισορροπίας με ίδιο πλάτος και παραπλήσιες συχνότητες \(f_1\) και \(f_2\) προκύπτει μια ιδιόμορφη κίνηση που ονομάζεται διακρότημα. Ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους ονομάζεται περίοδος του διακροτήματος και υπολογίζεται από την σχέση:

\[T_δ = \frac{1}{|f_1 - f_2|}\]

Η συχνότητα της ταλάντωσης της κίνησης του σώματος δίνεται από την σχέση:

\[f = \frac{f_1+f_2}{2}\]

Άρα η περίοδος της κίνησης είναι

\[T = \frac{2}{f_1+f_2}\]

Το πλήθος \(Ν_1\) των ταλαντώσεων που εκτελεί το σώμα στη διάρκεια μιας περιόδου του διακροτήματος είναι

\[Ν_1 = \frac{T_δ}{Τ} = \frac{ \frac{1}{|f_1 - f_2|}}{\frac{2}{f_1+f_2}} = \frac{f_1+f_2}{2\cdot|f_1-f_2|}\]

Όταν υποδιπλασιάσουμε τις συχνότητες έχουμε \(f'_1 = \frac{f_1}{2}\) και \(f'_2 = \frac{f_2}{2}\) οπότε για την νέα ιδιόμορφη ταλάντωση θα ισχύουν

\[T'_δ = \frac{1}{|f'_1 - f'_2|} = \frac{1}{|\frac{f_1}{2} - \frac{f_2}{2}|} = \frac{2}{|f_1 - f_2|}\]

ενώ για την περίοδο \(Τ\) της κίνησης έχουμε

\[T´ = \frac{2}{f´_1+f´_2} = \frac{2}{\frac{f_1}{2} + \frac{f_2}{2}} = \frac{4}{f_1+f_2}\]

οπότε το πλήθος \(Ν_2\) των ταλαντώσεων που εκτελεί το σώμα στη διάρκεια μιας περιόδου του διακροτήματος είναι

\[Ν_2 = \frac{T´_δ}{Τ´} = \frac{ \frac{2}{|f_1 - f_2|}}{\frac{4}{f_1+f_2}} = \frac{f_1+f_2}{2\cdot|f_1-f_2|}\]

και τελικά ο ζητούμενος λόγος προκύπτει:

\[\frac{N_1}{N_2}=1\]




blog comments powered by Disqus

Published

22 June 2015

Category

Άσκηση

Tags