Ράβδος με δίσκο
Ράβδος μήκους \(d = 0.8m\) και μάζας \(M = 3kg\) μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το δεξιό άκρο της Ο. Στο άλλο άκρο Α της ράβδου, μπορεί να περιστρέφεται πάλι χωρίς τριβές ομογενείς δίσκος μάζας \(m = 1kg\) και ακτίνας \(r = 0.2m\). O δίσκος κυλίεται πάνω σε ημικυκλικό οδηγό όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι
\[I = \frac{1}{12} \cdot M \cdot d^2\]ενώ η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του είναι
\[I = \frac{1}{2} \cdot m \cdot r^2\]α) Να βρεθούν την χρονική στιγμή που η ράβδος αφήνεται οριζόντια, ως προς τον άξονα περιστροφής της
1) ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου
2) ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του δίσκου
3) ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος ράβδος - δίσκος.
β) Την στιγμή που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη να βρεθούν
1) η στροφορμή λόγω ιδιοπεριστροφής (spin) ως προς τον άξονα περιστροφής του δίσκου που περνά από το κέντρο του Α
2) η τροχιακή στροφορμή του δίσκου λόγω περιφοράς του γύρω από τον κάθετο άξονα στο επίπεδο της τροχιάς που περνά από το άκρο Ο της ράβδου
3) η στροφορμή του δίσκου ως προς το άκρο Ο της ράβδου.
Απάντηση:
To κέντρο μάζας του δίσκου είναι ταυτόχρονα και το αριστερό άκρο Α της ράβδου. Άρα το κέντρο μάζας του δίσκου περιστρέφεται γύρω από άξονα που είναι κάθετος στην ράβδο στο δεξί άκρο της Ο. Λόγω κύλισης του δίσκου και περιστροφής της ράβδου έχουμε για τα μέτρα των διανυσμάτων την σχέση:
\[a_A = a_{γων-δισκου} \cdot r = a_{γων-ραβδου} \cdot d\]Για τον δίσκο ο δεύτερος νόμος τους Νεύτωνα μας δίνει:
\[ΣF = m \cdot a_{cm} \Rightarrow F + m \cdot g - T = m \cdot a_{cm}\]όπου \(F\) η δύναμη που δέχεται ο δίσκος από την ράβδο. Μετά τις αντικαταστάσεις φτάνουμε στην εξίσωση 1
\[F + 10 - T = a_A\]Πάλι για τον δίσκο ο θεμελιώδεις νόμος της στροφικής κίνησης μας δίνει:
\[Στ = Ι_δ \cdot a_{γων-δισκου} \Rightarrow Τ \cdot r = \frac{1}{2} \cdot m \cdot r^2 \cdot a_{γων-δισκου}\]και μετά τις αντικαταστάσεις φτάνουμε στην εξίσωση 2
\[Τ = \frac{a_A}{2}\]Για την ράβδο ο θεμελιώδεις νόμος της στροφικής κίνησης μας δίνει:
\[Στ = Ι_ρ \cdot a_{γων-ραβδου} \Rightarrow Μ \cdot g \cdot \frac{d}{2} - F \cdot d = \frac{1}{3} \cdot M \cdot d^2 \cdot a_{γων-δισκου}\]όπου \(F\) η δύναμη που ασκεί ο δίσκος στην ράβδο που σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα θα έχει ίσο μέτρο και αντίθετη φορά με την δύναμη που ασκεί η ράβδος στον δίσκο. Μετά τις αντικαταστάσεις φτάνουμε στην εξίσωση 3
\[15 - F = a_A\]Μετά την επίλυση του συστήματος των τριών εξισώσεων έχουμε
\[F = T = 5N\] \[a_A = 10 \frac{m}{s^2}\] \[a_{γων-ραβδου} = \frac{25}{2} \frac{rad}{s^2}\] \[a_{γων-δισκου} = 50 \frac{rad}{s^2}\]ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου δίνεται από την σχέση:
\[\frac{ΔL}{Δt}_{ραβδου} = Μ \cdot g \cdot \frac{d}{2} - F \cdot d = 8 Ν \cdot m\]ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του δίσκου δίνεται από την σχέση:
\[\frac{ΔL}{Δt}_{δισκου} = m \cdot g \cdot d + F \cdot d - T \cdot (d+r) = 7 Ν \cdot m\]και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος ράβδου - δίσκου δίνεται από την σχέση:
\[\frac{ΔL}{Δt}_{συστήματος} = Μ \cdot g \cdot \frac{d}{2} + m \cdot g \cdot d- T \cdot (d+r) = 15 Ν \cdot m\]από όπου συμπεραίνουμε μιας και τα διανύσματα είναι ομόρροπα ότι
\[\frac{ΔL}{Δt}_{συστήματος} = \frac{ΔL}{Δt}_{ραβδου} + \frac{ΔL}{Δt}_{δισκου}\]Παρατηρήσεις: Ας προσπαθήσουμε να επαληθεύσουμε τον θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης για τα τρία σώματα (ράβδος, δίσκος, σύστημα). Δηλαδή αν πολλαπλασιάσουμε την ροπή αδράνειας με την γωνιακή επιτάχυνση, θα βρούμε την συνισταμένη ροπή των εξωτερικών δυνάμεων;
Για την ράβδο τα πράγματα είναι απλά. Η ράβδος περιστρέφεται γύρω από τον άξονα που περνά από το άκρο της Ο.
\[Ι_{ραβδου} \cdot a_{γων-ραβδου} = 0.64 \cdot \frac{25}{2} = 8 N \cdot m\]Για τον δίσκο τα πράγματα γίνονται πολύπλοκα. Ο δίσκος περιστρέφεται γύρω από τον άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας του (spin) και ταυτόχρονα περιφέρεται γύρω από τον άξονα που περνά από το άκρο Ο της ράβδου. Για την ιδιοπεριστροφή έχουμε:
\[Ι_{δισκου}^Α \cdot a_{γων-δισκου} = 1 N \cdot m\]Για την περιφορά γύρω από άξονα που περνά από το άκρο Ο της ράβδου θεωρώντας όλη την μάζα του δίσκου συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας του έχουμε:
\[Ι_{δισκου}^Ο \cdot a_{γων-ραβδου} = m \cdot d^2 \cdot a_{γων-ραβδου} = 8 N \cdot m\]Η εξωτερική ροπή για την ιδιοπεριστροφή (spin) του δίσκου είναι ένα διάνυσμα με φορά προς την σελίδα, λόγω της περιστροφής κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού, ενώ η εξωτερική ροπή για την περιφορά είναι ένα διάνυσμα με φορά προς τον αναγνώστη, λόγω της περιστροφής αντίθετα από την φορά των ρολογιών. Η συνολική ροπή προκύπτει από την αφαίρεση \(8-1 = 7\).
Για το σύστημα ράβδος - δίσκος οι υπολογισμοί είναι ακόμη πιο πολύπλοκοι. Σκοπός είναι να πολλαπλασιάσουμε ροπή αδράνειας με γωνιακή επιτάχυνση και στο τελικό αποτέλεσμα να εμφανισθεί η εξωτερική ροπή δύναμης.
\[-\frac{1}{2} \cdot m \cdot r^2 \cdot a_{γων-δισκου} + m \cdot d^2 \cdot a_{γων-ραβδου} + \frac{1}{3} \cdot M \cdot d^2 \cdot a_{γων-ραβδου} = 15 N \cdot m\]Αρχή διατήρησης της ενέργειας από την οριζόντια θέση στην κατακόρυφη, με επίπεδο μηδενικής ενέργειας αυτό που περνά από το κέντρο μάζας του δίσκου στην κατακόρυφη θέση.
\[K_I + U_I = K_{II} + U_{II} \Rightarrow (m+M) \cdot g \cdot d = \frac{1}{2}\cdot m \cdot u_{cm}^2 + \frac{1}{2} \cdot I_{δισκου} \cdot ω_δ^2 + \frac{1}{2} \cdot I_{ραβδου} \cdot ω_ρ^2\]και κάνοντας χρήση την σχέση
\[u_A = ω_{δισκου} \cdot r = ω_{ραβδου} \cdot d\]έχουμε για τον δίσκο \(ω_δ = 8 \cdot \sqrt{10} \frac{r}{s}\), για την ράβδο \(ω_ρ = 2 \cdot \sqrt{10} \frac{r}{s}\), οπότε για την ιδιοστροφορμή έχουμε
\[L_1 = I_δ \cdot ω_δ = 0.16 \cdot \sqrt{10} \frac{kg \cdot m^2}{s^2}\]για την στροφορμή του δίσκου καθώς περιστρέφεται γύρω από το άκρο της ράβδου
\[L_2 = m_δ \cdot u_{cm} \cdot d = 1.28 \cdot \sqrt{10} \frac{kg \cdot m^2}{s^2}\]οπότε η συνολική στροφορμή προκύπτει από τα δύο προηγούμενα μεγέθη με διανυσματική πρόσθεση
\[L_{ολ} = 1.12 \cdot \sqrt{10} \frac{kg \cdot m^2}{s^2}\]blog comments powered by Disqus