Επιφανειακά κύματα

Στην επιφάνεια ενός υγρού που ηρεμεί, βρίσκονται δύο σύγχρονες σημειακές πηγές $Π_{1}$ και $Π_{2}$ , που δημιουργούν στην επιφάνεια του υγρού εγκάρσια αρμονικά κύματα ίσου πλάτους. Οι πηγές αρχίζουν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή $t_{0} = 0$ ξεκινώντας από τη θέση ισορροπίας τους και κινούμενες προς την ίδια κατεύθυνση, την οποία θεωρούμε θετική. Η χρονική εξίσωση της ταλάντωσης ενός σημείου $Μ$ , που βρίσκεται στη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος $Π_{1} Π_{2}$ , μετά τη συμβολή των κυμάτων δίνεται στο $S I$ από τη σχέση:

y_{M} = 0.2 η μ 2 π (5 t - 10)

Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στην επιφάνεια του υγρού είναι $υ_{δ} = 3 \frac{m}{s}$ . Έστω $Ο$ το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $Π_{1} Π_{2}$ και $d = 1 m$ η απόσταση μεταξύ των πηγών. Να βρείτε:

1. Την απόσταση $Μ Π_{1}$ .

2. Τη διαφορά φάσης των ταλαντώσεων των σημείων $Ο$ και $Μ$ .

3. Πόσα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος $Π_{1} Π_{2}$ ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος.

4. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σημείου $Μ$ σε συνάρτηση με τον χρόνο $t$ για $0 \leq t \leq 2.5 s$ .

5. Πόσα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος $Π_{1} Π_{2}$ παραμένουν ακίνητα.

6. Να σχεδιάσετε τους κροσσούς ενισχυτικής συμβολής.

7. Να σχεδιάσετε τους κροσσούς καταστροφικής ή αποσβεστικής συμβολής.

Απάντηση:

1. Από τη σχέση που δίνεται υπολογίζουμε τα παρακάτω στοιχεία: $Τ = 0.2 s, A = 0.1 m, λ = 0.6 m, M Π_{1} = 6 m$

2. Από την αρχή της επαλληλίας έχουμε:

y = 2 A σ υ ν 2 π \frac{r_{1} - r_{2}}{2 λ} η μ 2 π (\frac{t}{T} - \frac{r_{1} + r_{2}}{2 λ})

για το σημείο $Ο$ ισχύει $r_{1} = r_{2} = 0.5$ άρα

y_{o} = 0.2 η μ 2 π (5 t - \frac{5}{6})

οπότε για τη διαφορά φάσης των σημείων $Μ$ και $Ο$ έχουμε

Δ φ = φ_{Ο} - φ_{Μ} = 2 π (5 t - \frac{5}{6}) - 2 π (5 t - 10) \Rightarrow Δ φ = \frac{55 π}{3} r a d

3. Για τα σημεία που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος ισχύει

σ υ ν 2 π \frac{r_{1} - r_{2}}{2 λ} \pm 1 \Rightarrow 2 π \frac{r_{1} - r_{2}}{2 λ} = N π \Rightarrow r_{1} - r_{2} = 0.6 N

και επειδή τα σημεία ανήκουν στο ευθύγραμμο τμήμα $Π_{1} Π_{2}$ ισχύει

r_{1} + r_{2} = 1

οπότε λύνοντας το σύστημα και με δεδομένο ότι $0 \leq r_{1} \leq 1 m$ βρίσκουμε τα σημεία $r_{1} = 0.2 m$ , $r_{1}^{'} = 0.5 m$ και $r_{1}^{″} = 0.8 m$ , άρα τρία σημεία ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος.

4. Τέλος η γραφική παράστασης της χρονικής συνάρτησης απομάκρυνσης του σημείου $Μ$ φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. H διαταραχή φτάνει στο σημείο $Μ$ την χρονική στιγμή $t = 2 s$ .

y_{M} = 0.2 η μ 2 π (5 t - 10) = 0.2 η μ 10 π (t - 2)

σχήμα

και ο κώδικας σε mathematica

		f[t] := 0
		g[t] := 0.2Sin[10Pi(t-2)]
		Show[{Plot[f[t], {t, 0, 2}, PlotStyle -> Red], 
 				Plot[g[t], {t, 2, 2.5}, PlotStyle -> Blue]},
 					PlotRange -> All,
 					GridLines -> Automatic,  
 					Background -> LightBlue, 
 					PlotLabel -> "yM = f(t)", 
 					AxesLabel -> {"t(s)","y(m)"}, 
 					AxesOrigin -> {0, 0}, 
 					Filling -> Automatic]

5. Για τα σημεία που παραμένουν ακίνητα ισχύει

σ υ ν 2 π \frac{r_{1} - r_{2}}{2 λ} = 0 \Rightarrow 2 π \frac{r_{1} - r_{2}}{2 λ} = (2 N + 1) \frac{π}{2} \Rightarrow r_{1} - r_{2} = 0.6 N + 0.3

και επειδή τα σημεία ανήκουν στο ευθύγραμμο τμήμα $Π_{1} Π_{2}$ ισχύει

r_{1} + r_{2} = 1

οπότε λύνοντας το σύστημα και με δεδομένο ότι $0 \leq r_{1} \leq 1 m$ βρίσκουμε ότι τέσσερα σημεία παραμένουν συνεχώς ακίνητα, αφού

- \frac{6.5}{3} \leq N \leq \frac{3.5}{3}

6. Έστω $Σ$ σημείο με συντεταγμένες $(x, y)$ ως προς το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το μέσον $Ο$ του ευθύγραμμου τμήματος $Π_{1} Π_{2}$ , που ανήκει στον κροσσό ενυσχυτικής συμβολής. Για το σημείο $Σ$ ισχύει:

r_{1} - r_{2} = N λ

Όλα τα σημεία που έχουν αυτή την ιδιότητα ανήκουν στην ίδια υπερβολή, άρα και τα σημεία τομής της υπερβολής με τον άξονα $x^{'} x, Α_{1} (- a, 0), Α_{2} (a, 0)$ όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

σχήμα

Οι πηγές έχουν συντεταγμένες $Π_{1} (- c, 0), Π_{2} (c, 0)$ και όπως φαίνεται από την γεωμετρία του σχήματος ισχύει

r_{1} - r_{2} = 2 a

οπότε χρησιμοποιώντας το πυθαγόρειο θεώρημα και κάνοντας πράξεις έχουμε:

\sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} - \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = 2 a \Rightarrow x^{2} (c^{2} - a^{2}) - a^{2} \cdot y^{2} = a^{2} (c^{2} - a^{2})

και ανικαθιστώντας όπου $c^{2} - a^{2} = b^{2}$ έχουμε τελικά την σχέση:

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

η οποία είναι η εξίσωση της υπερβολής με κέντρο το σημείο $(0, 0)$ και εκκεντρότητα $e = \frac{c}{a}$ . Για την συγκεκριμένη άσκηση έχουμε $Ν = - 1, Ν = 0, Ν = 1$ δηλαδή τρεις υπερβολές εκ των οποίων η μία είναι η μεσοκάθετος στο ευθύγραμμο τμήμα $Π_{1} Π_{2}$ για $Ν = 0$ . Για να σχεδιάσουμε τις άλλες δύο υπερβολές ( $N = \pm 1$ ) έχουμε

Ν λ = 2 a \Rightarrow a = \frac{N λ}{2} \Rightarrow a = \pm 0.3, c = 0.5, b = 0.4

οπότε η εξίσωση είναι:

\frac{x^{2}}{0.09} - \frac{y^{2}}{0.16} = 1

η γραφική παράσταση φαίνεται στην επόμενη εικόνα

σχήμα

και ο κώδικας σε mathematica για τον σχεδιασμό της υπερβολής είναι:

	ContourPlot[x^2/0.09 - y^2/0.16 == 1, 
		{x, -1, 1}, 
		{y, -1, 1}, 
		Axes->True, 
		AxesLabel -> {x, y},
		Epilog -> {Red, PointSize[Large], 
		Point[ { {0.5, 0}, {0.3, 0}, {-0.3, 0}, {-0.5, 0} } ] } ]

7. Για τους κροσσούς καταστροφικής ή αποσβεστικής συμβολής ισχύουν

(2 Ν + 1) \frac{λ}{2} = 2 a \Rightarrow a = (2 N + 1) \frac{λ}{4}

και όπως δείξαμε στο $5 ο$ ερώτημα οι αποδεκτές τιμές για το $Ν$ είναι $Ν = 0, Ν = 1, Ν = - 1, Ν = - 2$ . Άρα για το πρώτο ζευγάρι υπορβολών θα έχουμε για $Ν = 0$ ή $Ν = - 1$

$a = 0.15$ ή $a = - 0.15 \Rightarrow a^{2} = 0.0225, c = 0.5 \Rightarrow c^{2} = 0.25, b^{2} = 0.2275$

και η εξίσωση της υπερβολής είναι

\frac{x^{2}}{0.0225} - \frac{y^{2}}{0.2275} = 1

ενώ για το δεύτερο ζευγάρι υπερβολών θα έχουμε για $Ν = 1$ ή $Ν = - 2$

$a = 0.45$ ή $a = - 0.45 \Rightarrow a^{2} = 0.2025, c = 0.5 \Rightarrow c^{2} = 0.25, b^{2} = 0.0475$

και η εξίσωση της υπερβολής είναι

\frac{x^{2}}{0.2025} - \frac{y^{2}}{0.0475} = 1

η γραφική παράσταση φαίνεται στην επόμενη εικόνα

σχήμα

και ο κώδικας σε mathematica για τον σχεδιασμό των υπερβολών είναι:

	ContourPlot[{x^2/0.2025 - y^2/0.475 == 1, 
				x^2/0.0225 - y^2/0.2275 == 1},
				{x, -1, 1}, 
				{y, -1, 1}, 
				Axes->True, 
				AxesLabel -> {x, y},
				Epilog -> {Black, PointSize[Medium], 
				Point[ { {0.5, 0},
						{-0.45, 0}, 
						{-0.15, 0}, 
						{0.15, 0}, 
						{0.45, 0}, 
						{-0.5, 0} } ] } ]

← Previous Archive Next →

Published

02 January 2018

Επιφανειακά κύματα Πανελλαδικές 2011 τα πρώτα τέσσερα ερωτήματα

Published

Category

Tags