Δύο ελατήρια σε πλάγιο επίπεδο

θέμα Δ

Δύο ιδανικά ελατήρια τοποθετούνται σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης \(φ\), με τα κοινά τους άκρα στερεωμένα σε σώμα \(Σ_1\) μάζας \(m_1 = 1kg\) και τα άλλα άκρα στερεωμένα σε κατάλληλα στηρίγματα. Τα ελατήρια έχουν κοινή θέση φυσικού μήκους και ίσες σταθερές ελατηρίων \(k_1 = k_2 = k \quad\) Όταν το σώμα \(Σ_1\) βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του, τα δύο ελατήρια έχουν υποστεί την ίδια παραμόρφωση \(Δl_ο\) με το ελατήριο (1) να είναι επιμηκυμένο και το (2) συσπειρωμένο. Αρχικά το σώμα \(Σ_1\) ισορροπεί στο λείο κεκλιμένο επίπεδο. Σώμα \(Σ_2\) ίσης μάζας με την μάζα του σώματος \(Σ_1\), κινείται κατακόρυφα με φορά προς τα κάτω και ταχύτητα \(υ_ο\) και συγκρούεται πλαστικά με το σώμα \(Σ_1\) σχηματίζοντας συσσωμάτωμα. Το συσσωμάτωμα χωρίς να αναπηδήσει αρχίζει να κινείται κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου και σταματάει στιγμιαία για δεύτερη φορά στην θέση που και τα δύο ελατήρια βρίσκονται στο φυσικό τους μήκος. Το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί ανάμεσα στην κρούση και στον πρώτο μηδενισμό της ταχύτητας του σώματος \(Σ_1\) είναι \(Δt = \frac{π}{15} s\)

Δ1. Να δείξετε ότι το συσσωμάτωμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την σταθερά \(k\) του κάθε ελατηρίου.

Δ2. Να βρείτε, το πλάτος \(A\) της ταλάντωσης του συσσωματώματος και την ταχύτητα \(υ_ο\) του σώματος \(Σ_2\) πριν την πλαστική κρούση.

Δ3. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας κάθε ελατηρίου την στιγμή που το συσσωμάτωμα διέρχεται για πρώτη φορά από την θέση ισορροπίας του.

Δ4. Την ίδια στιγμή βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας και τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συσσωματώματος.

Δ5. Να βρείτε την σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης του σώματος \(Σ_2\) και να κάνετε την γραφική παράσταση της δύναμης επαναφοράς που ασκείται στο σώμα \(Σ_2\) σε συνάρτηση με τον χρόνο για χρονικό διάστημα μιας περιόδου. Θεωρούμε θετική την φορά προς τα επάνω.

Δίνεται \(g = 10 \frac{m}{s^2}, \quad ημφ = 0.6 \quad συνφ = 0.8\)