Γεωμετρία στη σύνθεση ταλαντώσεων

Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο στην ίδια διεύθυνση. (Η ειδική περίπτωση του σχολικού βιβλίου)

\[x_1 = A_1 \cdot ημ(ωt)\] \[x_2 = A_2 \cdot ημ(ωt + φ)\]

σχήμα

Με την βοήθεια των περιστρεφόμενων διανυσμάτων και του πυθαγόρειου θεωρήματος έχουμε:

\[Α^2 = (Α_1 + Α_2 \cdot συνφ)^2 + Α_2^2 \cdot ημ^2φ\]

Αναπτύσουμε την ταυτότητα και με την βοήθεια της σχέσης \(ημ^2φ + συν^2φ = 1\) προκύπτει για το πλάτος η σχέση:

\[Α = \sqrt{Α_1^2 + Α_2^2 + 2 \cdot A_1 \cdot A_2 \cdot συνφ}\]

ενώ για την γωνία \(θ\) που σχηματίζει η συνισταμένη ταλάντωση με τον ορίζοντα (κόκκινη γραμμοσκιασμένη) ισχύει:

\[εφθ = \frac{A_2 \cdot ημφ}{Α_1 + Α_2 \cdot συνφ}\]

Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο στην ίδια διεύθυνση. (Η γενική περίπτωση)

\[x_1 = A_1 \cdot ημ(φ_{x1})\] \[φ_{x1} = ωt + φ_{01}\] \[x_2 = A_2 \cdot ημ(φ_{x2})\] \[φ_{x2} = ωt + φ_{02}\]

σχήμα

Με την βοήθεια των περιστρεφόμενων διανυσμάτων και του πυθαγόρειου θεωρήματος έχουμε:

\[Α^2 = (Α_1 + Α_2 \cdot συνφ)^2 + Α_2^2 \cdot ημ^2φ\]

όπου \(φ = φ_{x2} - φ_{x1}\) θετικός αριθμός. Φροντίζουμε να αφαιρούμε από την φάση της ταλάντωσης που προηγείται την φάση της ταλάντωσης που έπεται.

Αναπτύσουμε την ταυτότητα και με την βοήθεια της σχέσης \(ημ^2φ + συν^2φ = 1\) προκύπτει για το πλάτος η σχέση:

\[Α = \sqrt{Α_1^2 + Α_2^2 + 2 \cdot A_1 \cdot A_2 \cdot συνφ}\]

ενώ για την γωνία \(θ\) που σχηματίζει η συνισταμένη ταλάντωση με το περιστρεφόμενο διάνυσμα της πρώτης ταλάντωσης ισχύει:

\[εφθ = \frac{A_2 \cdot ημφ}{Α_1 + Α_2 \cdot συνφ}\]

Άλγεβρα στη σύνθεση ταλαντώσεων

Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο στην ίδια διεύθυνση. (Η ειδική περίπτωση του σχολικού βιβλίου)

\[x_1 = A_1 \cdot ημ(ωt)\] \[x_2 = A_2 \cdot ημ(ωt + φ)\]

Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας των κινήσεων ισχύει:

\[x = x_1 + x_2\]

και η τελική μορφή της συνισταμένης ταλάντωσης είναι:

\[x = A \cdot ημ(ωt + θ)\]

Θα υπολογίσουμε το πλάτος \(Α\) και την διαφορά φάσης \(θ\) αλγεβρικά δημιουργώντας ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.

Για την χρονική στιγμή \(t=0\) η εξίσωση της αρχής της επαλληλίας γίνεται:

\[x = x_1 + x_2 \Rightarrow A \cdot ημ(0 + θ) = 0 + A_2 \cdot ημ(0 + φ) \Rightarrow A \cdot ημθ = Α_2 \cdot ημφ\]

Για την χρονική στιγμή \(t= \frac{T}{4}\) η εξίσωση της αρχής της επαλληλίας γίνεται:

\[x = x_1 + x_2 \Rightarrow A \cdot ημ(\frac{π}{2} + θ) = Α_1 + A_2 \cdot ημ(\frac{π}{2} + φ) \Rightarrow A \cdot συνθ = Α_1 + Α_2 \cdot συνφ\]

Υψώνουμε στο τετράγωνο και προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο τελευταίες σχέσεις, οπότε με την βοήθεια της σχέσης \(ημ^2φ + συν^2φ = 1\) προκύπτει για το πλάτος η σχέση:

\[Α = \sqrt{Α_1^2 + Α_2^2 + 2 \cdot A_1 \cdot A_2 \cdot συνφ}\]

Ενώ αν διαιρέσουμε κατά μέλη τις προηγούμενες σχέσεις προκύπτει

\[εφθ = \frac{A_2 \cdot ημφ}{Α_1 + Α_2 \cdot συνφ}\]

Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο στην ίδια διεύθυνση. (Η γενική περίπτωση)

\[x_1 = A_1 \cdot ημ(φ_{x1})\] \[φ_{x1} = ωt + φ_{01}\] \[x_2 = A_2 \cdot ημ(φ_{x2})\] \[φ_{x2} = ωt + φ_{02} = φ_{x1} + φ\]

Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας των κινήσεων ισχύει:

\[x = x_1 + x_2 \Rightarrow A \cdot ημ(φ_{x1} + θ ) = Α \cdot ημφ(ωt + φ_{01} + θ)\]

Θα υπολογίσουμε το πλάτος \(Α\) και την διαφορά φάσης \(θ\) αλγεβρικά δημιουργώντας ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.

Για αρχική φάση \(φ_{x1} =0\) η εξίσωση της αρχής της επαλληλίας γίνεται:

\[x = x_1 + x_2 \Rightarrow A \cdot ημθ = 0 + A_2 \cdot ημφ\]

Για αρχική φάση \(φ_{x1} = \frac{π}{2} rad\) η εξίσωση της αρχής της επαλληλίας γίνεται:

\[x = x_1 + x_2 \Rightarrow A \cdot ημ(\frac{π}{2} + θ) = Α_1 + A_2 \cdot ημ(\frac{π}{2} + φ) \Rightarrow A \cdot συνθ = Α_1 + Α_2 \cdot συνφ\]

Υψώνουμε στο τετράγωνο και προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο τελευταίες σχέσεις, οπότε με την βοήθεια της σχέσης \(ημ^2φ + συν^2φ = 1\) προκύπτει για το πλάτος η σχέση:

\[Α = \sqrt{Α_1^2 + Α_2^2 + 2 \cdot A_1 \cdot A_2 \cdot συνφ}\]

Ενώ αν διαιρέσουμε κατά μέλη τις προηγούμενες σχέσεις προκύπτει

\[εφθ = \frac{A_2 \cdot ημφ}{Α_1 + Α_2 \cdot συνφ}\]

όπου \(φ = φ_{x2} - φ_{x1}\) θετικός αριθμός. Φροντίζουμε να αφαιρούμε, όπως αναφέρθηκε και πριν, από την φάση της ταλάντωσης που προηγείται την φάση της ταλάντωσης που έπεται.



blog comments powered by Disqus

Published

28 October 2018

Category

Άσκηση

Tags