Μέγιστη Κινητική Ενέργεια Άσκηση του σχολικού βιβλίου
Σφαίρα μάζας \(m_1\) πέφτει με ταχύτητα \(υ_1\) σε ακίνητη σφαίρα μάζας \(m_2\) και συγκρούεται ελαστικά και κεντρικά με αυτή. Ποια πρέπει να είναι η σχέση μεταξύ των \(m_1\) και \(m_2\) ώστε μετά την κρούση η σφαίρα \(m_2\) να έχει μέγιστη κινητική ενέργεια;
\[α) \underline {τρόπος}\]Η μέγιστη κινητική ενέργεια που μπορεί να αποκτήσει η σφαίρα μάζας \(m_2\) μετά την κρούση είναι το σύνολο της κινητικής ενέργειας του συστήματος των δύο σφαιρών πριν την κρούση. Για να συμβεί αυτό πρέπει μετά την κρούση η σφαίρα μάζας \(m_1\) να ακινητοποιηθεί κάτι που συμβαίνει όταν οι σφαίρες έχουν ίσες μάζες
\[β) \underline {τρόπος}\]Έστω \(\frac{m_1}{m_2} = α \Rightarrow m_2 = \frac{m_1}{α}\).
Η κινητική ενέργεια της σφαίρας \(m_2\) είναι:
\[Κ_2 = \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot υ_2^2 \Rightarrow K_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_1}{α} \cdot (\frac{2m_1}{m_1+\frac{m_1}{α}}\cdot υ_1) ^2\]και μετά τις απλοποιήσεις
\[Κ_2 = \frac{2m_1 \cdot υ_1^2}{α \cdot (1 + \frac{1}{α})^2} \Rightarrow K_2 = \frac{2m_1 \cdot υ_1^2 \cdot α}{(α+1)^2}\]Σε αυτό το σημείο πρέπει να υπολογίσουμε για ποια τιμή του \(α\) μεγιστοποιείται η συνάρτηση \(\frac{α}{(α+1)^2}\)
Θα πρέπει αρχικά η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης να είναι μηδέν, δηλαδή
\[(\frac{α}{(α+1)^2})' = 0 \Rightarrow \frac{(α+1)^2 - α \cdot 2(α+1)}{(α+1)^4} = 0 \Rightarrow (α+1)^2 - α \cdot 2(α+1) = 0\]To \(α\) ως λόγος δύο μαζών είναι πάντα θετικός αριθμός οπότε διαιρούμε με τον παράγοντα \((α+1)\) και έχουμε:
\[α+1-2α = 0 \Rightarrow α = 1\] \[γ) \underline {τρόπος}\]Έστω \(\frac{m_1}{m_2} = α \Rightarrow m_2 = \frac{m_1}{α}\).
Η κινητική ενέργεια της σφαίρας \(m_2\) είναι:
\[Κ_2 = \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot υ_2^2 \Rightarrow K_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_1}{α} \cdot (\frac{2m_1}{m_1+\frac{m_1}{α}}\cdot υ_1) ^2\]και μετά τις απλοποιήσεις
\[Κ_2 = \frac{2m_1 \cdot υ_1^2}{α \cdot (1 + \frac{1}{α})^2} \Rightarrow K_2 = \frac{2m_1 \cdot υ_1^2 \cdot α}{(α+1)^2}\]Σε αυτό το σημείο πρέπει να υπολογίσουμε για ποια τιμή του \(α\) μεγιστοποιείται η συνάρτηση \(\frac{α}{(α+1)^2}\)
έστω \(y\) η τιμή της συνάρτησης \(\frac{α}{(α+1)^2}\) δηλαδή ισχύει
\[\frac{α}{(α+1)^2} = y \Rightarrow \frac{α}{(α^2 + 2α +1)} = y \Rightarrow (α^2 + 2α +1)y - α = 0 \Rightarrow y\cdot α^2 + (2y-1)\cdot α +y = 0\]Για να υπάρχουν πραγματικές ρίζες για το τριώνυμο θα πρέπει η διακρίνουσα να είναι θετική άρα
\[Δ \geq 0 \Rightarrow (2y-1)^2 -4y^2 \geq 0 \Rightarrow 4y^2 - 4y +1 -4y^2 \geq 0 \Rightarrow 4y \leq 1 \Rightarrow y \leq \frac{1}{4}\]οπότε η μέγιστη τιμή που παίρνει η συνάρτηση \(y\) είναι \(y_{max} = \frac{1}{4}\)
Μας ενδιαφέρει όμως η τιμή του \(α\) που βρίσκεται με αντικατάσταση
\[\frac{α}{(α+1)^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow α^2 +2α +1 = 4α \Rightarrow α^2 -2α +1 = 0 \Rightarrow (α-1)^2 = 0 \Rightarrow α = 1\]blog comments powered by Disqus