Κροσσοί συμβολής Σύμφωνες πηγές
Πηγές κυμάτων \(Π_1\) και \(Π_2\) δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια κύματα πλάτους \(Α=0.2m\), βρίσκονται στα σημεία \(Κ\), \(Λ\) αντίστοιχα και απέχουν μεταξύ τους απόσταση \(d=0.5m\). Την χρονική στιγμή \(t=0\) το σημείο \(Κ\) της πηγής \(Π_1\) βρίσκεται στην θέση ισορροπίας του και με θετική ταχύτητα ξεκινάει την ταλάντωσή του, ενώ το σημείο \(Λ\) της πηγής \(Π_2\) βρίσκεται και αυτό στην θέση ισορροπίας του και έχει αρνητική ταχύτητα, δηλαδή έχει προλάβει να εκτελέσει ήδη μισή ταλάντωση. Οι συχνότητες ταλάντωσης των δύο πηγών είναι \(f_1 = f_2 = 5Hz\), ενώ το μήκος κύματος που δημιουργούν στην επιφάνεια του υγρού είναι \(λ=0.4m\) Να βρείτε:
1) Την εξίσωση του κύματος που δημιουργεί η πηγή \(Π_1\) σε ένα τυχαίο σημείο που απέχει απόσταση \(r_1\) από το \(Κ\) κάποια χρονική στιγμή \(t\).
2) Την εξίσωση του κύματος που δημιουργεί η πηγή \(Π_2\) σε ένα τυχαίο σημείο που απέχει απόσταση \(r_2\) από το \(Λ\) κάποια χρονική στιγμή \(t\).
Έστω σημείο \(Σ\) που απέχει από τις πηγές \(Π_1\) και \(Π_2\) αποστάσεις \(r_1 = 0.3m\) και \(r_2 = 0.5m\) αντίστοιχα. Να βρείτε:
3) Την εξίσωση της ταλάντωσης που κάνει το σημείο \(Σ\) σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, αφού συμβάλλουν σε αυτό τα κύματα που δημιουργούν οι πηγές \(Π_1\) και \(Π_2\).
4) Ποια χρονική στιγμή ξεκινάει η συμβολή των κυμάτων από τις πηγές στο προηγούμενο σημείο \(Σ\).
5) Ποια είναι η διαφορά φάσης (αποδεκτές τιμές \(0 \le Δφ \le 2π\)) των σημείων \(Σ\) και \(Σ'\) μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτά. \(Σ'\) θεωρείστε το σημείο της επιφάνειας του υγρού που απέχει απο τις πηγές \(Π_1\) και \(Π_2\) αποστάσεις \(r'_1=0.5m\) και \(r'_2 = 0.3m\) αντίστοιχα.
6) Ποια σημεία του ευθύγραμμου τμήματος \(ΚΛ\) ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος.
Απάντηση:
1) Η αρχική φάση της πηγής \(Π_1\) είναι \(φ_ο = 0 rad\) αφού την χρονική στιγμή \(t=0\) το σημείο \(Κ\) είναι στη θέση ισορροπίας \(y = 0m\) και έχει θετική ταχύτητα \(υ_ο > 0\). Η κυματική διαταραχή χρειάζεται χρόνο \(Δt = \frac{r_1}{υ}\) για να διαδοθεί από το σημείο \(Κ\) στο τυχαίο σημείο. Οπότε η εξίσωση του κύματος είναι:
\[y = A ημ[ω \cdot (t-Δt)] = A ημ(ω \cdot t - ω \cdot \frac{r_1}{υ}) = A ημ 2π( \frac{t}{T} - \frac{r_1}{λ} )\]μετά τις πράξεις έχουμε για το πρώτο κύμα:
\[y = 0.2 ημ(10π \cdot t - 5π \cdot r_1)\]2) Η αρχική φάση της πηγής \(Π_2\) είναι \(φ_ο = π rad\) αφού την χρονική στιγμή \(t=0\) το σημείο \(Κ\) είναι στη θέση ισορροπίας \(y = 0m\) και έχει αρνητική ταχύτητα \(υ_ο < 0\). Η κυματική διαταραχή χρειάζεται χρόνο \(Δt = \frac{r_2}{υ}\) για να διαδοθεί από το σημείο \(Λ\) στο τυχαίο σημείο. Οπότε η εξίσωση του κύματος είναι:
\[y = A ημ[ω \cdot (t-Δt) + π]= A ημ(ω \cdot t - ω \cdot \frac{r_2}{υ} + π) = A ημ 2π( \frac{t}{T} - \frac{r_2}{λ} + \frac{1}{2} )\]μετά τις πράξεις έχουμε για το δεύτερο κύμα:
\[y = 0.2 ημ(10π \cdot t - 5π \cdot r_2 + π)\]3) Στο σημείο Σ φτάνουν τα κύματα \(y_1, y_2\). Κάνοντας αντικατάσταση τα \(r_1, r_2\) έχουμε
\[y_1 = 0.2 ημ(10π \cdot t - 1.5π)\] \[y_2 = 0.2 ημ(10π \cdot t - 1.5π)\]Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας η απομάκρυνση του σημείου από τη θέση ισσοροπίας του τη χρονική στιγμή \(t\) θα είναι
\[y = y_1 + y_2\]οπότε μετά τις πράξεις έχουμε:
\[y = 0.4 ημ(10π \cdot t - 1.5π )\]4) Για να υπολογίσουμε σε πόσο χρόνο φτάνει το κύμα από την πηγή \(Π_1\) στο σημείο \(Σ\) μηδενίζουμε τη φάση
\[φ \ge 0 \Rightarrow 10π \cdot t - 1.5π \ge 0 \Rightarrow t \ge 0.15s\]και παρομοίως υπολογίζουμε τον χρόνο που χρειάζεται το κύμα από την πηγή \(Π_2\) να φτάσει στο σημείο \(Σ\)
\[t \ge 0.15s\]παρατηρούμε ότι τα κύματα φτάνουν ταυτόχρονα στο σημείο \(Σ\), άρα η συμβολή των κυμάτων στο σημείο \(Σ\) ξεκινάει την χρονική στιγμή \(t = 0.15s\) και το σημείο \(Σ\) είναι σημείο ενισχυτικής συμβολής.
5) Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας η απομάκρυνση του τυχαίου σημείου της επιφάνειας του υγρού, από τη θέση ισσοροπίας του τη χρονική στιγμή \(t\) θα είναι
\[y = y_1 + y_2\]οπότε μετά τις πράξεις έχουμε:
\[y = 0.4 ημ \frac{5π}{2} \cdot (r_2 - r_1) \cdot ημ(10π \cdot t - \frac{5π}{2}(r_1 + r_2)+ \frac{π}{2})\]Για το σημείο \(Σ\) υπολογίσαμε ήδη από το τρίτο ερώτημα την εξίσωση της απομάκρυνσης
\[y = 0.4 ημ(10π \cdot t - \frac{3π}{2} )\]ενώ για το σημείο \(Σ'\) για το οποίο ισχύει \(r'_1 = 0.5m\) και \(r'_2 = 0.3m\) έχουμε
\[y = 0.4 ημ(10π \cdot t - \frac{π}{2} )\]η διαφορά φάσης των σημείων \(Σ\) και \(Σ'\) είναι \(Δφ = π rad\).
6) Για τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος \(ΚΛ\) που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος ισχύουν
\[ημ \frac{5π}{2} \cdot (r_2 - r_1) = \pm 1 \Rightarrow \frac{5π}{2} \cdot (r_2 - r_1) = (2N+1) \frac{π}{2} \Rightarrow (r_2 - r_1) = 0.4N + 0.2\] \[r_1 + r_2 = 0.5\]οπότε λύνοντας το σύστημα και με δεδομένο ότι \(0 \le r_2 \le 0.5\) βρίσκουμε τα σημεία \(r_1 = 0.15m\) και \(r_2 = 0.35m\)
blog comments powered by Disqus