Ρευστά Μαθηματικά Γ' Λυκείου
Έστω \(y = y(t)\) το ύψος και \(V = V(t)\) ο όγκος του νερού μιας δεξαμενής τη χρονική στιγμή \(t\). Η δεξαμενή αδειάζει από μια κυκλική οπή εμβαδού \(α\) που βρίσκεται στον πυθμένα της. Σύμφωνα με το νόμο του Torricelli ο ρυθμός μεταβολής του όγκου του νερού είναι
\[\frac{dV}{dt} = - α\cdot \sqrt{2 \cdot g \cdot y}\]όπου \(g = 10 \frac{m}{s^2}\) και \(α\) το εμβαδόν διατομής της οπής.
i) Αν η δεξαμενή είναι κυλινδρική με ύψος \(36m\), ακτίνα \(1m\) και η ακτίνα της οπής είναι \(0.1m\), να αποδείξετε ότι το \(y\) ικανοποιεί την εξίσωση
\[y' = - \frac{\sqrt{5}}{50} \cdot y\]ii) Να βρείτε το ύψος \(y(t)\), αν είναι γνωστό ότι τη χρονική στιγμή \(t = 0\) η δεξαμενή ήταν γεμάτη.
iii) Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να αδειάσει τελείως η δεξαμενή; Δίνεται ότι ο όγκος του κυλίνδρου είναι \(V = π\cdot R^2\cdot h\), όπου \(h\) το ύψος του κυλίνδρου.
Απάντηση:
i) Ο όγκος του νερού της δεξαμενής τη χρονική στιγμή \(t\) είναι
\[V(t) = π \cdot R^2 \cdot y(t) = π \cdot y(t)\]όπου \(R = 1m\) η ακτίνα του κυλίνδρου, οπότε
\[V′(t) = π \cdot y′(t)\]O νόμος του Torricelli γράφεται
\[π \cdot y′ = − 0.02 \cdot π \cdot 5 \cdot y ,\]όπου υπολογίσαμε πρώτα το εμβαδόν διατομής της οπής
\[α = π \cdot r^2 \Rightarrow α = 0.01 \cdot π\]Άρα από τον νόμο του Torricelli έχουμε:
\[y' = -\frac{\sqrt5}{50}\cdot \sqrt{y}\]ii) Προφανώς το \(y = 0\) αποτελεί λύση της παραπάνω εξίσωσης. Για \(y > 0\) η εξίσωση γράφεται
\[\frac{dy}{\sqrt{y}} = -\frac{\sqrt5}{50}\cdot dt\]και λύνοντας την διαφορική εξίσωση έχουμε
\[\int y^{-\frac{1}{2}} dy = \frac{-\sqrt{5}}{50} \cdot t +c\]και τελικά μετά τις πράξεις
\[y = (-\frac{\sqrt{5}}{100} \cdot t+\frac{c}{2})^2\]Όμως ισχύει \(y_o = 36m\) άρα \(c=12\). Άρα τη τελική συνάρτηση έχει την μορφή
\[y = (-\frac{\sqrt{5}}{100} \cdot t+6)^2\]iii) H δεξαμενή αδειάζει τελείως, όταν \(y(t) = 0\). Έτσι έχουμε:
\[y(t) = 0 \Rightarrow -\frac{\sqrt{5}}{100} \cdot t+6 = 0 \Rightarrow t = 120 \cdot \sqrt5s\]blog comments powered by Disqus