Συμπαγής σφαίρα πάνω σε πλατφόρμα
Συμπαγής σφαίρα μάζας \(m\) και ακτίνας \(R\) εκτοξεύεται χωρίς περιστροφή πάνω σε λεπτή σανίδα (πλατφόρμα) ίδιας μάζας με την συμπαγή σφαίρα. Η εκτόξευση γίνεται οριζόντια από το άκρο της πλατφόρμας με αρχική ταχύτητα \(u_o\). Η σανίδα αρχικά ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Παρατηρούμε ότι η σφαίρα αρχίζει να περιστρέφεται, ενώ ταυτόχρονα η λεπτή σανίδα επιταχύνεται για χρόνο \(t = t_1\). Στην συνέχεια τόσο η σφαίρα όσο και η πλατφόρμα κινούνται με σταθερές ταχύτητες. Εάν γνωρίζεται την επιτάχυνση της βαρύτητας \(g\), τον συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ της σφαίρας και της πλατφόρμας \(μ\), την αρχική ταχύτητα της σφαίρας \(u_o\) και την ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της
\[Ι = \frac{2}{5} \cdot m \cdot R^2\]
α) Να αποδείξετε την σχέση \(u_{cm} - ω \cdot R = u_1\), όπου \(u_{cm}\) η ταχύτητα του άξονα της σφαίρας, ω η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και \(u_1\) η ταχύτητα της πλατφόρμας ως προς το λείο οριζόντιο επίπεδο.
β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του άξονα της σφαίρας \(u_{cm}\), την γωνιακή ταχύτητα \(ω\) και την ταχύτητα της πλατφόρμας \(u_1\) συναρτήση της αρχικής ταχύτητας της συμπαγούς σφαίρας \(u_o\).
γ) Να βρείτε την απόσταση που διένυσε το κέντρο μάζας της σφαίρας ως προς το έδαφος, έως την χρονική στιγμή \(t = t_1\)
δ) Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής την χρονική στιγμή \(t = t_1\)
ε) Να υπολογίσετε την μηχανική ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμότητα εξαιτίας της τριβής που αναπτύσσεται μεταξύ σφαίρας και πλατφόρμας.
Απάντηση:
blog comments powered by Disqus