Αυτοκίνητο και μεταβλητή δύναμη
Ένα αγωνιστικό αυτοκίνητο που θεωρούμε υλικό σημείο ξεκινάει την χρονική στιγμή
\[t_o = 0s\]σε μια πίστα δοκιμής ελαστικών στην οποία κινείται συνολικά για χρόνο
\[t = \frac{1}{2}min\]Η μεταβλητή δύναμη που δέχεται το αμάξωμα μάζας
\[m = 1.000 kg\]μεταβάλλεται συνεχώς από
\[F_o = 1.000N\]έως
\[F = 3.000N\]Αν γνωρίζετε ότι η τελική ταχύτητα του κινητού δεν ξεπερνάει τα
\[126 \frac{km}{h}\]Να αποδείξετε ότι:
\[\int_0^{30} F^2(t)dt \le 50.000.000\]Απάντηση:
Ξεκινάμε με τις μετατροπές
\[t = 30 s\] \[u = 35 \frac{m}{s}\]Ακολουθεί ο δεύτερος νόμος του νεύτωνα
\[F = m \cdot a \Rightarrow a = \frac{F}{m}\]Για την τελική ταχύτητα του κινητού
\[u = \int a(t) dt \Rightarrow u = \int_0^{30} \frac{F(t)}{1000} dt\]και μετά τις πράξεις αφού γνωρίζουμε την τελική ταχύτητα έχουμε:
\[\int_0^{30} F(t) dt = 35.000\]Για την δύναμη έχουμε
\[1.000 \le F(t) \le 3.000\]Άρα έχουμε δύο ανισώσεις
\[F(t) - 1.000 \ge 0\] \[3.000 - F(t) \ge 0\]Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη μετά τις πράξεις έχουμε
\[F^2(t) \le 4.000 \cdot F(t) - 3.000.000 \Rightarrow \int_0^{30} F^2(t) dt \le \int_0^{30} 4.000 \cdot F(t) dt - \int_0^{30} 3.000.000 dt\]και μετά τις πράξεις
\[\int_0^{30} F^2(t) dt \le 50.000.000\]blog comments powered by Disqus